Краткое описание:https://ocw.mit.edu/courses/18-965-geometry-of-manifolds-fall-2004/8a7e4dd837d1bdd6988e0330babb8c5e_lecture16_17.pdf
- Теория бифуркаций для операторов Фредгольма(arXiv)
Автор:Хулиан Лопес-Гомес, Хуан Карлос Сампедро
Аннотация: эта статья состоит из четырех частей. Он начинается с использования авторской обобщенной формулы Шаудера \cite{JJ} и алгебраической кратности χ Эскинаса и Лопеса-Гомеса \cite{ELG,Es,LG01} для упаковки и уточнения всех существующих результатов в локальной и глобальной бифуркации. теории для операторов Фредгольма посредством недавней авторской аксиоматизации степени Фитцпатрика — Пейсаховича — Рабье, \cite{JJ2}. Это облегчает переформулировку и уточнение всех существующих результатов компактным и унифицирующим образом. Затем локальная структура множества решений F(λ,u)=0 при простом вырожденном собственном значении устанавливается с помощью некоторых понятий и приемов алгебраической геометрии и теории Галуа, которые устанавливают бисоциацию между теорией бифуркаций и алгебраической геометрией. Далее, мы объединяем теорему о структуре аналитических многообразий с блестящей идеей Буффони и Толанда \cite{BT}, чтобы показать, что множества решений наиболее парадигмальных одномерных краевых задач с аналитическими нелинейностями на самом деле состоят из глобальных аналитических дуг изгиб. Наконец, односторонние теоремы \cite{LG01,LG02}, а также уточнения Си и Ванга \cite{XW} существенно обобщены. В этой статье также анализируются два важных примера, чтобы проиллюстрировать и обсудить актуальность абстрактной теории. Второй изучает регулярные положительные решения многомерной квазилинейной краевой задачи смешанного типа, связанной с оператором средней кривизны
2.Расслоение индексов для самосопряженных операторов Фредгольма и многопараметрическая бифуркация для гамильтоновых систем (arXiv)
Автор: Роберт Скиба, Нильс Ватерстраат
Аннотация: индекс самосопряженного оператора Фредгольма равен нулю в силу хорошо известного факта, что ядро самосопряженного оператора перпендикулярно его области значений. Индекс Фредгольма был обобщен на семейства Атьей и Йенихом в 60-х годах, и легко видеть, что на комплексных гильбертовых пространствах это так называемое индексное расслоение обращается в нуль для семейств самосопряженных операторов Фредгольма, как и в случае одного оператора. Первая цель этой заметки — указать, что для каждого реального гильбертова пространства и любого компактного топологического пространства X существует семейство самосопряженных операторов Фредгольма, параметризованное X × S1, которое имеет нетривиальное расслоение индексов. Далее мы используем это наблюдение и теорему Пейсаховича об индексе семейства для изучения многопараметрической бифуркации гомоклинических решений гамильтоновых систем, где мы обобщаем ранее известный класс примеров.
3. Аналитический принцип бифуркации для операторов Фредгольма (arXiv)
Автор: Маттиас Штифенхофер
Аннотация: Гладкие уравнения формы G[z]=0 исследуются в банаховых пространствах с целью продолжения основного решения G[0]=0 до кривой решения G[z]=0 с теоремой о неявной функции. Если линеаризация сюръективна, то условие трансверсальности теоремы о неявной функции может быть выполнено прямым способом, что дает регулярную кривую решения, тогда как в противном случае уравнение G[z]=0 должно быть соответствующим образом расширено для достижения сюръективной линеаризации, доступной к теореме о неявной функции. Этот процесс расширения, подразумевающий на первом этапе стандартную теорему бифуркации простых точек бифуркации, продолжается произвольно, давая последовательность результатов бифуркации, предположительно применимую к точкам бифуркации с конечным вырождением.
